数学计算

0.公式

行程

（1）基本公式：$S=vt$$S=vt$

等距离平均速度：$\frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}$$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$

（2）流水行船

$v\text{静}\text{水}=v\text{船}\text{速}$$v静水=v船速$

$v\text{顺}\text{水}\text{船}\text{速}=v\text{船}\text{速}+v\text{水}\text{速}$$v顺水船速=v船速+v水速$

$v\text{逆}\text{水}\text{船}\text{速}=v\text{船}\text{速}-v\text{水}\text{速}$$v逆水船速=v船速-v水速$

（3）火车过桥：$\text{火}\text{车}\text{从}\text{开}\text{始}\text{上}\text{桥}\text{到}\text{完}\text{全}\text{下}\text{桥}\text{的}\text{时}\text{间}=\frac{\text{车}\text{长}+\text{桥}\text{长}}{\text{火}\text{车}\text{速}\text{度}}$$火车从开始上桥到完全下桥的时间=\frac{车长+桥长}{火车速度}$

（4）相遇、追击

相遇：$S=(v_1+v_2)t$$S=(v_1+v_2)t$

追及：$S=(v_1-v2)t$$S=(v_1-v2)t$

线性两端第n次相遇：$S_{\text{总}}=(v1+v2)t=（2n-1）S=(S,3S,5S,7S...)$$S_总=(v1+v2)t=（2n-1）S=(S, 3S, 5S, 7S...)$

工程

基本公式：$W=PT$$W=PT$

经济利润

$\text{利}\text{润}=\text{售}\text{价}-\text{成}\text{本}$$利润=售价-成本$

$\text{利}\text{润}\text{率}=\frac{\text{利}\text{润}}{\text{成}\text{本}}=\frac{\text{售}\text{价}-\text{成}\text{本}}{\text{成}\text{本}}$$利润率=\frac{利润}{成本}=\frac{售价-成本}{成本}$

几何

$\text{弧}\text{长}\text{公}\text{式}l=r\theta$$弧长公式l=r\theta$

$\text{菱}\text{形}\text{面}\text{积}=\frac{1}{2}\text{对}\text{角}\text{线}\text{乘}\text{积}$$菱形面积=\frac{1}{2}对角线乘积$

$\text{扇}\text{形}\text{面}\text{积}=\frac{n}{360}\pi r^2=\frac{\theta }{2\pi }\pi r^2=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}{r}^2\theta$$扇形面积=\frac{n}{360}\pi r^2=\frac{\theta}{2\pi}\pi r^2=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}r^2\theta$

$\text{圆}\text{锥}\text{表}\text{面}\text{积}=\pi r^2+\frac{1}{2}lr$$圆锥表面积=\pi r^2+\frac{1}{2}lr$

$\text{球}\text{表}\text{面}\text{积}=4\pi r^2$$球表面积=4\pi r^2$

$\text{球}\text{体}\text{积}=\frac{4}{3}\pi r^3$$球体积=\frac{4}{3}\pi r^3$

$\text{圆}\text{锥}\text{体}\text{积}=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$圆锥体积=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^2h$

$\text{圆}\text{柱}\text{体}\text{积}=Sh=\pi r^{2}h$$圆柱体积=Sh=\pi r^2h$

$\text{余}\text{弦}\text{定}\text{理}：cos\alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$余弦定理：cos\alpha = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha$$a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha$

集合

数列

等差数列

$\text{通}\text{项}\text{公}\text{式}：a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d$$通项公式：a_n=a_1+(n-1)d=a_k+(n-k)d$

$\text{求}\text{和}\text{公}\text{式}：S_n=a_1+a_2+...+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$$求和公式：S_n=a_1+a_2+...+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

等比数列

$\text{通}\text{项}\text{公}\text{式}：a_n=a_1{q}^{n-1}=a_k{q}^{n-k}$$通项公式：a_n=a_1q^{n-1} =a_kq^{n-k}$

$\text{求}\text{和}\text{公}\text{式}：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$求和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

混合

基本公式：$\text{浓}\text{度}=\frac{\text{溶}\text{质}}{\text{溶}\text{液}}$$浓度=\frac{溶质}{溶液}$

溶液混合：

$Aa+Bb=(A+B)c$$Aa+Bb=(A+B)c$

$A(c-a)=B(b-c)$$A(c-a)=B(b-c)$

$\frac{A}{b-c}=\frac{B}{c-a}$$\frac{A}{b-c}=\frac{B}{c-a}$

植树

$\text{段}\text{数}=\frac{\text{总}\text{长}}{\text{间}\text{隔}}$$段数=\frac{总长}{间隔}$

空瓶换酒

N个空瓶换一瓶酒，问A个空瓶可以换多少瓶酒：$\frac{A}{N-1}$$\frac{A}{N-1}$

N个空瓶换一瓶酒，问如果想换M瓶酒，至少需要空瓶数：$M(N-1)$$M(N-1)$

1.整数特性问题

整数特性法核心公式： （1）若A:B=m:n ， 则 A是 m的倍数， B是 n的倍数， A+B是 m+n的倍数； （2）若A:B:C=m:n:p ， 则 A是 m的倍数， B是 n的倍数， C是 p的倍数，

A+B+C是 m+n+p的倍数。

整数特性法四大应用(出现下面条件，优先考虑整数特性问题)： (1)当条件中出现比例：m:n 或m:n:p (2)当条件中出现分数：m/n (3)当条件中出现百分数：% (4)当条件中出现倍数：n倍

列方程时，能用加法不用减法，能用乘法不用除法

判断一个数是否为3的倍数：消3法

判断一个数是否为9的倍数，消9法：

123456789可被9整除（1+8、2+7、3+6、4+5、9 消9等于0，故可被9整除）

整数特性问题注意点：

（1）整数特性不判定2、4、5、8的倍数，除非明确告知能够被精准整除

（2）整数特性不用考虑小数点（1.5为3的倍数，因为1.5=0.5*3）

判断一个数是否为4的倍数，及判断除以4后的余数，需要用末尾两位。（12345678不是4的倍数，因为78不能整数4）

2.十字交叉法

三大应用：

（1）在增长率（=增长量/去年量）问题中，今年率的变化反应去年量的变化；

​x
1
2019                2020
2
A                   a%
3
B                   b%
4
A + B               c%          a < c < b
5

6
A     a        b - c
7
        \   /
8
          c
9
        /   \
10
B     b        c - a  
11

12
A的增长量+B的增长量 = （A+B）的增长量
13
XA + XB = X(A + B)
14
A*a% + B*b% = (A + B)*c%
15
B(b-c) = A(c-a)
16
A/B = (b-c)/(c-a)
17

（2）在浓度（=溶质/溶液）问题中，浓度的变化反应的是溶液的变化；

xxxxxxxxxx
10
1

2
A  20%      B  5%         混合成C  300g  17%
3

4
A: 20               12    4
5
        \       /
6
            17
7
B: 5    /       \   3     1
8

9
故需要A溶液4/（4+1）  * 300g  = 240g
10
B溶液1/（4+1）  *  300g  = 60g

（3）在平均分（=分数/人数）问题中，平均分的变化反应的是人数的变化。

十字交叉法核心总结：

在十字交叉法中，$\frac{A}{B}$$\frac{A}{B}$ 的变化反映的是B的变化

3.不定方程问题

不定方程问题的两类题型：

（1）一个方程： 用奇偶加减特性或整除特性，并结合尾数法求解。首先找到已知数字的奇偶性， 进一步推得未知数字的奇偶性。

（2）两个方程：用消元法求解（转为一个方程的问题），问什么就保留什么，不问什么就消掉什么。

特值法使用场景：（已知两个方程，求第三个方程时，用特值法消元，一般赋值为0 ）

已知a1 * x + b1 * y + c1 * z = w1、a2 * x + b2 * y + c2 * z = w2，求a3 * x + b3 * y + c3 * z = ?

===

4.最值问题

最值问题的两个考点： （1）各组元素是否相同，若没有明确告知互不相同，必须理解为可以相同（1.各组元素可以相同；2.最值可以相同）；

（2）用平均数思想解题。

最值问题的两种问法：（不会问最大中的最大值、最小中的最小值） （1）问最大中的最小值； （2）问最小中的最大值。

最值问题中，总量需减掉一切已知数据。

5.浓度问题

浓度问题核心公式： 浓度=溶质/溶液

浓度问题核心考点： 根据不变量列等式

xxxxxxxxxx
7
1

2
A      +       B         =          C
3
300g           500g                 800g
4
Pa             Pb                   Pc
5

6
300Pa + 500Pb = 800Pc
7
3Pa + 5Pb = 8Pc

6.集合问题

集合问题的三类题型：

（1）双集合问题

Q1 + Q2 - C = A - B

（2）三集合问题

Q1 + Q2 + Q3 - （D + 2*E） = A - B

（3）类集合问题

若有n个子集合，则问n个子集合同时至少...

Q1 + Q2 + ... + Qn - (n-1)Q

其中，Q1、Q2、...、Qn为子集合，Q为总集合

7.周期问题

关键找到周期

注意：时间问题，不计算起始天，计算结束天

8.经济利润问题

概念：

进价、成本价、收购价

原价、定价、标价

售价

降价、打折

提价、加价

计算关系

总成本=进价*购买量

总收入=售价*销量

总利润=总收入-总成本=单个商品的利润*销量（有限制，还有库存）

利润率类似增长率思想

（注意：数量为成本利润率，一般内部使用；资料中为收入利润率，因为年报公开，一般不透露成本）

利润问题的两个公式： （1）利润=售价-进价 （2）利润率=利润/进价 利润问题的两个考点： （1）从售价的角度讲： 多卖的钱就是多赚的钱， 少卖的钱就是少赚的钱

（2）从进价的角度讲： 多花的钱就是少赚的钱，少花的钱就是多赚的钱

设未知数原则：当条件中无具体量时设出具体量，有具体量时设x

注意：

资料分析中，销售利润率=利润/销售收入；数量关系中，成本利润率=利润/成本。

9.工程问题

概念： 工程量 效率 时间

工程问题核心公式： 总工作量 = 工作效率 * 工作时间（W = P * T） 工程问题两类题型： (1)若给出工作时间：则总工作量设为各工作时间的最小公倍数，并进一步求出其(给谁的时间，求谁的效率)对应的工作效率； (2)若给出工作效率：则总工作量设为工 作效率乘以工作时间。

10.行程问题

行程问题的五类题型：

(1)S = v * t

(2)平均速度

等路程平均速度公式： $v=\frac{2\ast v1\ast v2}{v1+v2}$$v = \frac{2 * v1 * v2}{v1 + v2}$

A->B v1

B->A v2

A->B->A的平均速度 v = 2s/t =2s/(s/v1 + s/v2) = 2/(1/v1 + 1/v2) = 2v1*v2/(v1 + v2)

遇到等路程问题，先用等路程平均速度解题。

(3)相对速度

相对速度公式：

$v\text{相}\text{对}=v1+/-v2$$v相对 = v1 +/- v2$

+：相遇、顺水 -：追及、逆水

追及问题中，v相对 是单位时间内甲比乙多跑的路程，S相对 是甲比乙一共多跑的路程。

相遇问题中，v相对 是单位时间内甲乙共跑的路程，S相对 是甲乙共跑的路程。

$S\text{相}\text{对}=v\text{相}\text{对}\ast t$$S相对 = v相对 * t$

(4)漂流问题公式：

A->B S V船 V水 T1（顺水） T2（逆水） T2>T1

顺水 （V船+V水）*T1 = S （1）

逆水 （V船-V水）*T2 = S （2）

$2\ast T1\ast T2\ast V\text{水}=S\ast (T2-T1)$$2*T1*T2*V水 = S*(T2-T1)$

$\frac{S}{V\text{水}}=\frac{2\ast T1\ast T2}{T2-T1}$$\frac{S}{V水} = \frac{2*T1*T2}{T2-T1}$

公式一：漂流时间

$T=\frac{S}{V\text{水}}=\frac{2\ast T1\ast T2}{T2-T1}$$T = \frac{S}{V水} = \frac{2*T1*T2}{T2-T1}$ (T2 > T1)

公式二：船在静水中的航行时间

$T=\frac{S}{V\text{船}}=\frac{2\ast T1\ast T2}{T1+T2}$$T =\frac{S}{V船} = \frac{2*T1*T2}{T1+T2}$

公式三：

因为V顺 = V船 + V水，V逆 = V船 - V水

所以，

$v\text{船}=\frac{v\text{顺}+v\text{逆}}{2}$$v船 = \frac{v顺 + v逆}{2}$ $v\text{水}=\frac{v\text{顺}-v\text{逆}}{2}$$v水 = \frac{v顺 - v逆}{2}$

(5)两次相遇问题

两次相遇公式：

单边型（两次相遇均都是距离某边A/B）：

S为两边之间的距离，S1为第一次距离某边的距离，S2为第二次距离某边的距离

$S=\frac{3\ast S1+S2}{2}$$S = \frac{3 * S1 + S2}{2}$

第n次相遇走了（2n-1）*S

双边型（两次相遇距离不同边A和B）：

双边型（两次相遇距离不同边A和B）：

$S=3\ast S1-S2$$S = 3 * S1 - S2$

理解：w=x*y，w是x、y所有因子的整数倍（整除特性）

判断一个数是否是11的倍数：将一个数的各奇数位之和减去各偶数位之和，若差为11的倍数，则该数是11的倍数。

3位数特例，286是11的倍数（2+6-8=0，0是11的倍数）

11.比例问题

在工程问题中，有以下两种情况是比例问题

1）有效率的变化导致时间的变化，2）有效率差或时间差

在行程问题中，有以下两种情况是比例问题

1）有速度的变化导致时间的变化，2）有速度差或时间差

在比例问题中，给出什么差（给时间差），就求出什么比（时间比）。

L01： 某厂进行零件加工，原计划要 18 小时完成，改进工作效率后只需 12 小时就能完成，已知后来每小时比原计划多加工 6 个零件，问这批零件一共有多少？

给出了效率差，需求效率比；已知时间比18：12，故效率比2：3=12：18，假设提效前完成，零件数位18*12=216

12.时钟问题

时钟问题的三类题型：

（1）求角度： 公式法 |30h - 5.5m|

1. h指的是小时，m指的是分钟，h为12小时进制

2. 公式只能正向运用，不能逆向，除相交角度问题外，只能根据时间求角度，不能反求。

3. 求出角度a大于180°时，用360减角度a即可

（2）求时间：用追及问题求解

分针速度 360°/60 = 6°/min

时针速度 因为 60分钟：30° 故0.5°/min

相对速度：6-0.5 = 5.5°/min

13.几何问题

周长公式：

面积公式：

体积公式：

球

圆锥

正四面体 $V=\frac{\sqrt{(}2)}{12}\ast a^3$$V= \frac{\sqrt(2)}{12} * a^3$ a为正四面体的棱长

常用结论：

（1）等周长图形中，圆的面积最大；等面积的图形中，圆的周长最小。

等表面积的立体中，球的体积最大；等体积的立体中，球的表面积最小。

（2）任意以圆的直径为边的内接三角形都是直角三角形；

（3）依次连接任意一个四边形各边中点所得一定是平行四边形，且平行四边形 的边与原四边形的对角线平行； （4）对任意平面图形，边长是原来的n倍，面积是原来的n*n倍；

几何问题的三类题型： （1）规则图形 ：公式法

（2）不规则图形：间接法

（3）立体几何的平面化

14.年龄问题

年龄问题的两个考点：

（1）年龄差不变

（2）经过相同年份，增长年龄相同

年龄问题的两种解法：

（1）方程法

（2）列表法

15.边端问题（加减1的问题）

（1）植树问题

线性植树：

$\text{棵}\text{数}=\frac{\text{总}\text{长}}{\text{间}\text{距}}+1$$棵数 = \frac{总长}{间距} + 1$ （算头算尾要加1）

环形植树：

$\text{棵}\text{数}=\frac{\text{总}\text{长}}{\text{间}\text{距}}$$棵数 = \frac{总长}{间距}$

楼间植树：

$\text{棵}\text{数}=\frac{\text{总}\text{长}}{\text{间}\text{距}}-1$$棵数 = \frac{总长}{间距} - 1$ （不算头不算尾需要减1）

（2）方阵问题

每边人数 = 方阵总人数 / 4 + 1

外层比里层每边多2人

所有外层比里一层共多8人（只有一个例外，即为中间仅有1人的情况。）

注：方阵问题可以看作公差为8的等差数列

补充等差数列知识：

求和公式$Sn=\frac{a1+an}{2}\ast n$$Sn = \frac{a1 + an}{2} * n$

第n项 $an=a1+(n-1)\ast d$$an = a1 + (n-1)*d$

项数$n=\frac{an-a1}{d}+1$$n = \frac{an - a1}{d} + 1$

16.排列组合（重要）

有序排列，无序组合

捆绑法——解相邻问题 插空法——解不相邻问题 分组法——解不同元素分组问题 挡板法——解相同元素分组问题 优限法——解含特殊条件问题 倍缩法——解方案有重问题 间接法——解正向求解不显然问题

定义：

将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。

将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。

16.1不同元素

分组问题

例.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）每组两本（均分三组）（2）一组一本，一组两本，一组三本（3）一组四本，另外两组各一本

（平均分组问题）（不平均分组问题）（部分平均分组问题）

平均分组(消内部排列数，即n!)：$\frac{C_6^2\ast C_4^2\ast C_2^2}{A_3^3}$$\frac{C_{6}^{2} * C_{4}^{2} * C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}}$

不平均分组问题：$C_6^1\ast C_5^2\ast C_3^3$$C_{6}^{1} * C_{5}^{2} * C_{3}^{3}$

部分平均分组问题(消均分组数的内部排列数)：$\frac{C_6^4\ast C_2^1\ast C_1^1}{A_2^2}$$\frac{C_{6}^{4} * C_{2}^{1} * C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}$

分配问题

先分组后分配

例.六本不同的书，分给甲乙丙三人，每人至少有一本，共有多少种分法？

分组：90

分配：6

共90*6=540种

16.2同种元素

分组问题

例.六本相同的书，分给三组，每组至少有一本，共有多少种分法？

3种（1-2-3/2-2-2/1-1-4）

分配问题

M个相同元素分给N人，分法有$C_{M-1}^{N-1}$$C_{M-1}^{N-1}$种。

同种元素分配问题推荐插板法

例.六本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少有一本，共有多少种分法？

$C_5^2$$C_{5}^{2}$

补充：20个相同元素，分给甲乙丙三人，每人至少0本，有几种分法？

解：20 - (-1) = 23

相当于23个相同元素，分给3人，每人至少1本，$C_{22}^2$$C_{22}^{2}$

（1）分组问题

将元素分到组中有以下几种类型

元素不同，组不同：不需要进行排列

元素不同，组相同：平均分组要除以n!

元素相同，组不同：插板法，将M个相同元素分为N组，则有C_M-1^N-1种方法

（2）错位排序

$D(n)=(n-1)\ast [D(n-1)+D(n-2)]$$D(n) = (n-1) * [D(n-1) + D(n-2)]$

D(1) = 0

D(2) = 1

D(3) = 2

D(4) = 9

D(5) = 44

D(6) = 265

（3）

相邻问题：捆绑法

不临问题：插空法

17.概率问题

概率问题的两类题型：

(1)古典概型

(2)由条件中多个已知概率，求未知概率

18.鸡兔同笼问题

若将A看成B，则求出的是A

鸡、兔同笼，共有头 40 个，足 92 只，求兔子有多少只（ ）？

A.5 只 B.6 只 C.7 只 D.8 只

解：若将兔子看成鸡，则40只鸡有足40*2=80，多余的足90-80=12为兔的足，兔子数为12/2=6

19.抽屉原理

抽屉原理问题模型： “保证”和“至少” 同时出现在问题中

抽屉原理解题原则： 最有利原则，问什么就要尽量避免什么发生

20.比赛问题

比赛计数

N人

淘汰赛：每次比赛均淘汰败者，淘汰一个人需要打一场比赛

决出一、二名，需要N-1场比赛

决出一、二、三、四名，需要N场比赛

循环赛：积分赛

单循环：任意两人之间打一场，共C<sub>N</sub><sup>2</sup>场

双循环：任意两人之间打两场，共$2\ast C_N^2=A_N^2$$2 * C_{N}^{2} = A_{N}^{2}$场

21.牛吃草问题

唯一推荐 列方程解决的问题

有一个固定的量，这个量匀速变化即为牛吃草问题。

xxxxxxxxxx
1
1
y = (N-x) * T

数字推理

1.等差数列

两两做差

2.等比数列

特征为相邻项之间有明显的倍数关系

3.每项都带小数点

（1）将每一项的整数部分、小数部分进行加减运算，得到下一项的整数或小数部分； （2）整数、小数部分拆分成两个数列看，分别找规律。

4.带根号

每项平方去根号后，再找规律。

5.幂次数列+修正

典型特征为出现数值较大的幂次数，或者幂次数附近的数

6.分数数列

分数数列解题思维过程：分组或交叉 → 约分或广义通分 → 反约分。 分组是指分子分母分别成规律；交叉是指相邻项的分子分母之间具有一定的联系；

分子分母分开找规律 分子分母进行加减乘除运算

基础数列（原型数列）

===

1、等差数列

【例】5，8，11，14，17，20，23…

2、等比数列

【例】2，6，18，54，162…

3、质数数列

【例】2，3，5，7，11，13，17…

4、合数数列

【例】4，6，8，9，10，12，14，15，16…

5、简单递推数列

【和】1，1，2，3，5，8，13…

【差】20，11，9，2，7，-5，12…

【积】4，1/2，2，1，2，2，4…

【商】54，18，3，6，1/2，12…

6、周期数列

【例】4，1，6，4，1，6…

7、对称数列

【例】1，2，3，3，2，1…

8、-2—30的平方数列

4，1，0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，529，576，625，676，729，784，841，900 …

9、-4—10的立方数列

-64，-27，-8，-1，0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000 …

10、2、3、4、5、6的多次方

2的1-10次幂： 2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024

3的1--6次幂： 3、9、27、81、243、729

4的1--5次幂： 4、16、64、256、1024

5的1--5次幂： 5、25、125、625、3125

6的1--4次幂： 6、36、216、1296

多重数列

基本特征：多重数列包括交叉数列和分组数列。一般来讲，这部分的数列都比较长，或者有2个括号的。

一、交叉数列为奇数项、偶数项分别成规律。

二、分组数列基本上都是两两分组，因此项数(包括未知项)通常都是 偶数 。分组完后，统一在各组进行形式一致的简单 加减乘除 运算，得到一个非常简单的数列。

多级数列

多级数列主要是相邻两项两两做差的“做差多级数列”以及相邻两项两两做商的“做商多级数列”。

做差：两两做差至少两次

做商：当相邻项之间倍数关系相对比较明显的时候，优先两两做商。

做和：

递推数列

根据初步判断的趋势作合理的试探，得出相关修正项。

如果一个数列没有明显特征（分数、多重、幂次、倍数等），做差做和也不能得到答案，那接下来就考虑递推数列的规律。

递推数列具有 和、差、积、商、倍、方 六种基本形态。

有“心”数图

根据周围计算中心，观察中心数值与周围数值的大小关系。

数学计算

先：行程 工程 时钟 浓度 牛吃草 还原 容斥

后：排列组合 概率 日期

行程问题

等距离平均速度

$ \dot{v}=\frac{2S}{\frac{S}{v1}+\frac{S}{v2}} $

P神数学计算

集合容斥问题

二集合

总人数：参加讨论范围的人数总和

总人次：每个对象中存在人数的总和，（A+B）

（1）$A\cup B=A+B-A\cap B$$A\cup B=A+B-A\cap B$

（2）$A\cap B=A+B-A\cup B$$A\cap B = A+B-A\cup B$

$A\cap B=all-\text{两}\text{不}=A+B-A\cap B$$A\cap B = all-两不=A+B-A\cap B$

三集合

（1）$A+B+C(\text{总}\text{人}\text{次})=\text{一}\text{层}(\text{仅}1+\text{仅}2+\text{仅}3)+\text{二}\text{层}(\text{仅}2+\text{仅}3)+\text{三}\text{层}(\text{仅}3)$$A+B+C(总人次)=一层(仅1+仅2+仅3)+二层(仅2+仅3)+三层(仅3)$

（2）$A+B+C(\text{总}\text{人}\text{次})=\text{仅}1+2\ast \text{仅}2+3\ast \text{仅}3$$A+B+C(总人次)=仅1+2*仅2+3*仅3$

一般给出总人次A+B+C，求总人数：

（1）总人数=A+B+C-二层-三层

（2）$\text{总}\text{人}\text{数}=A+B+C-\text{仅}2\text{层}-2\ast \text{仅}3\text{层}$$总人数=A+B+C-仅2层-2*仅3层$

即为$\text{总}\text{人}\text{数}=A+B+C-\text{仅}\text{满}\text{足}\text{两}\text{个}-2\ast A\cap B\cap C$$总人数=A+B+C-仅满足两个-2*A\cap B \cap C$

（3）$\text{总}\text{人}\text{数}=A+B+C-(A\cap B+A\cap C+B\cap C)+A\cap B\cap C$$总人数=A+B+C-(A\cap B+A\cap C+B\cap C)+A\cap B \cap C$

容斥=满足1-满足2+满足3(-满足4+满足5，扩展情况：先减后加)

最小公倍数

1到100中，有多少个自然数可以被4或5整除？

$\text{总}\text{个}\text{数}=[\frac{100}{a}]+[\frac{100}{b}]-[\frac{100}{a\text{和}b\text{最}\text{小}\text{公}\text{倍}\text{数}}]$$总个数=[\frac{100}{a}]+[\frac{100}{b}]-[\frac{100}{a和b最小公倍数}]$

1到100中，有多少个自然数可以被4或5或6整除？

$\text{总}\text{个}\text{数}=[\frac{100}{a}]+[\frac{100}{b}]+[\frac{100}{c}]-([\frac{100}{a\text{和}b\text{最}\text{小}\text{公}\text{倍}\text{数}}]+[\frac{100}{a\text{和}c\text{最}\text{小}\text{公}\text{倍}\text{数}}]+[\frac{100}{b\text{和}c\text{最}\text{小}\text{公}\text{倍}\text{数}}])+[\frac{100}{a、b、c\text{最}\text{小}\text{公}\text{倍}\text{数}}]$$总个数=[\frac{100}{a}]+[\frac{100}{b}]+[\frac{100}{c}]-([\frac{100}{a和b最小公倍数}]+[\frac{100}{a和c最小公倍数}]+[\frac{100}{b和c最小公倍数}])+[\frac{100}{a、b、c最小公倍数}]$

最不利构造

抽屉原理：n个抽屉，当书数量>=kn+1时，则至少有一个抽屉的书>=k+1本。

书的最低数=k*n+1

人数=（个数-1）/（人均-1）

问最多，则向下取整；问最少，则向上取整。

最不利问题：问最少，则找最多的反面情况，再+1