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数学计算
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数字推理
数学计算
行程问题、排列组合问题最难
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1.整数特性问题
整数特性法核心公式： （1）若A:B=m:n ， 则 A是 m的倍数， B是 n的倍数， A+B是 m+n的倍数； （2）若A:B:C=m:n:p ， 则 A是 m的倍数， B是 n的倍数， C是 p的倍数， <<<<<<< HEAD
A+B+C是 m+n+p的倍数。
A+B+C是 m+n+p的倍数。
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整数特性法四大应用(出现下面条件，优先考虑整数特性问题)： (1)当条件中出现比例：m:n 或m:n:p (2)当条件中出现分数：m/n (3)当条件中出现百分数：% <<<<<<< HEAD (4)当条件中出现倍数：n倍
列方程时，能用加法不用减法，能用乘法不用除法
判断一个数是否为3的倍数：消3法
======= (4)当条件中出现倍数：n倍
列方程时，能用加法不用减法，能用乘法不用除法
判断一个数是否为3的倍数：消3法
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 判断一个数是否为9的倍数，消9法：
123456789可被9整除（1+8、2+7、3+6、4+5、9 消9等于0，故可被9整除）
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9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 整数特性问题注意点：
（1）整数特性不判定2、4、5、8的倍数，除非明确告知能够被精准整除
（2）整数特性不用考虑小数点（1.5为3的倍数，因为1.5=0.5*3）
<<<<<<< HEAD 判断一个数是否为4的倍数，及判断除以4后的余数，需要用末尾两位。（12345678不是4的倍数，因为78不能整数4）
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判断一个数是否为4的倍数，及判断除以4后的余数，需要用末尾两位。（12345678不是4的倍数，因为78不能整数4）
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2.十字交叉法
三大应用：
（1）在增长率（=增长量/去年量）问题中，今年率的变化反应去年量的变化；
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2019 2020
A a%
B b%
A + B c% a < c < b
A a b - c
\ /
c
/ \
B b c - a
A的增长量+B的增长量 = （A+B）的增长量
XA + XB = X(A + B)
A*a% + B*b% = (A + B)*c%
B(b-c) = A(c-a)
A/B = (b-c)/(c-a)
<<<<<<< HEAD （2）在浓度（=溶质/溶液）问题中，浓度的变化反应的是溶液的变化；
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（2）在浓度（=溶质/溶液）问题中，浓度的变化反应的是溶液的变化；
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A 20% B 5% 混合成C 300g 17%
A: 20 12 4
\ /
17
B: 5 / \ 3 1
故需要A溶液4/（4+1） * 300g = 240g
B溶液1/（4+1） * 300g = 60g
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（3）在平均分（=分数/人数）问题中，平均分的变化反应的是人数的变化。
（3）在平均分（=分数/人数）问题中，平均分的变化反应的是人数的变化。
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十字交叉法核心总结：
在十字交叉法中，$\frac{A}{B}$ 的变化反映的是B的变化
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3.不定方程问题
不定方程问题的两类题型：
（1）一个方程： 用奇偶加减特性或整除特性，并结合尾数法求解。首先找到已知数字的奇偶性， 进一步推得未知数字的奇偶性。
（2）两个方程：用消元法求解（转为一个方程的问题），问什么就保留什么，不问什么就消掉什么。
3.不定方程问题
不定方程问题的两类题型：
（1）一个方程： 用奇偶加减特性或整除特性，并结合尾数法求解。首先找到已知数字的奇偶性， 进一步推得未知数字的奇偶性。
（2）两个方程：用消元法求解（转为一个方程的问题），问什么就保留什么，不问什么就消掉什么。
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特值法使用场景：（已知两个方程，求第三个方程时，用特值法消元，一般赋值为0 ）
已知a1 x + b1 y + c1 z = w1、a2 x + b2 y + c2 z = w2，求a3 x + b3 y + c3 * z = ?
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4.最值问题
最值问题的两个考点： （1）各组元素是否相同，若没有明确告知互不相同，必须理解为可以相同（1.各组元素可以相同；2.最值可以相同）； <<<<<<< HEAD （2）用平均数思想解题。
最值问题的两种问法：（不会问最大中的最大值、最小中的最小值） （1）问最大中的最小值；
（2）问最小中的最大值。
（2）用平均数思想解题。
最值问题的两种问法：（不会问最大中的最大值、最小中的最小值） （1）问最大中的最小值； （2）问最小中的最大值。
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最值问题中，总量需减掉一切已知数据。
5.浓度问题
浓度问题核心公式： 浓度=溶质/溶液
<<<<<<< HEAD 浓度问题核心考点： 根据不变量列等式
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浓度问题核心考点： 根据不变量列等式
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A + B = C
300g 500g 800g
Pa Pb Pc
300Pa + 500Pb = 800Pc
3Pa + 5Pb = 8Pc
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6.集合问题
集合问题的三类题型：
（1）双集合问题
Q1 + Q2 - C = A - B
（2）三集合问题
Q1 + Q2 + Q3 - （D + 2*E） = A - B
<<<<<<< HEAD
（3）类集合问题
（3）类集合问题
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若有n个子集合，则问n个子集合同时至少...
Q1 + Q2 + ... + Qn - (n-1)Q
其中，Q1、Q2、...、Qn为子集合，Q为总集合
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7.周期问题
关键找到周期
注意：时间问题，不计算起始天，计算结束天
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8.利润问题
利润问题的两个公式： （1）利润=售价-进价 （2）利润率=利润/进价 利润问题的两个考点： （1）从售价的角度讲： 多卖的钱就是多赚的钱， 少卖的钱就是少赚的钱 <<<<<<< HEAD （2）从进价的角度讲： 多花的钱就是少赚的钱，少花的钱就是多赚的钱
设未知数原则：当条件中无具体量时设出具体量，有具体量时设x
======= （2）从进价的角度讲： 多花的钱就是少赚的钱，少花的钱就是多赚的钱
设未知数原则：当条件中无具体量时设出具体量，有具体量时设x
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 注意：
资料分析中，销售利润率=利润/销售收入；数量关系中，成本利润率=利润/成本。
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9.工程问题
工程问题核心公式： 总工作量 = 工作效率 工作时间（W = P T） 工程问题两类题型： (1)若给出工作时间：则总工作量设为各工作时间的最小公倍数，并进一步求出其(给谁的时间，求谁的效率)对应的工作效率； <<<<<<< HEAD
(2)若给出工作效率：则总工作量设为工 作效率乘以工作时间。
(2)若给出工作效率：则总工作量设为工 作效率乘以工作时间。
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10.行程问题
行程问题的五类题型：
(1)S = v * t
(2)平均速度
等路程平均速度公式： $v = \frac{2 v1 v2}{v1 + v2}$
A->B v1
B->A v2
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A->B->A的平均速度 v = 2s/t =2s/(s/v1 + s/v2) = 2/(1/v1 + 1/v2) = 2v1*v2/(v1 + v2)
A->B->A的平均速度 v = 2s/t =2s/(s/v1 + s/v2) = 2/(1/v1 + 1/v2) = 2v1*v2/(v1 + v2)
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遇到等路程问题，先用等路程平均速度解题。
(3)相对速度
相对速度公式：
$v相对 = v1 +/- v2$
+：相遇、顺水 -：追及、逆水
追及问题中，v相对 是单位时间内甲比乙多跑的路程，S相对 是甲比乙一共多跑的路程。
相遇问题中，v相对 是单位时间内甲乙共跑的路程，S相对 是甲乙共跑的路程。
$S相对 = v相对 * t$
(4)漂流问题公式：
A->B S V船 V水 T1（顺水） T2（逆水） T2>T1
顺水 （V船+V水）*T1 = S （1）
逆水 （V船-V水）*T2 = S （2）
$2T1T2V船 = S(T1+T2)$
$\frac{S}{V船} = \frac{2T1T2}{T1+T2}$
<<<<<<< HEAD
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee $2T1T2V水 = S(T2-T1)$
$\frac{S}{V水} = \frac{2T1T2}{T2-T1}$
<<<<<<< HEAD
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 公式一：漂流时间
$T = \frac{S}{V水} = \frac{2T1T2}{T2-T1}$ (T2 > T1)
公式二：船在静水中的航行时间
$T =\frac{S}{V船} = \frac{2T1T2}{T1+T2}$
公式三：
因为V顺 = V船 + V水，V逆 = V船 - V水
所以，
$v船 = \frac{v顺 + v逆}{2}$ $v水 = \frac{v顺 - v逆}{2}$
(5)两次相遇问题 <<<<<<< HEAD
两次相遇公式：
两次相遇公式：
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 单边型（两次相遇均都是距离某边A/B）：
S为两边之间的距离，S1为第一次距离某边的距离，S2为第二次距离某边的距离
$S = \frac{3 * S1 + S2}{2}$
第n次相遇走了（2n-1）*S
<<<<<<< HEAD 双边型（两次相遇距离不同边A和B）：
$S = 3 * S1 - S2$
双边型（两次相遇距离不同边A和B）：
$S = 3 * S1 - S2$
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理解：w=x*y，w是x、y所有因子的整数倍（整除特性）
判断一个数是否是11的倍数：将一个数的各奇数位之和减去各偶数位之和，若差为11的倍数，则该数是11的倍数。
3位数特例，286是11的倍数（2+6-8=0，0是11的倍数）
11.比例问题
在工程问题中，有以下两种情况是比例问题
1）有效率的变化导致时间的变化，2）有效率差或时间差
在行程问题中，有以下两种情况是比例问题
1）有速度的变化导致时间的变化，2）有速度差或时间差
在比例问题中，给出什么差（给时间差），就求出什么比（时间比）。
L01： 某厂进行零件加工，原计划要 18 小时完成，改进工作效率后只需 12 小时就能完成，已知后来每小时比原计划多加工 6 个零件，问这批零件一共有多少？
给出了效率差，需求效率比；已知时间比18：12，故效率比2：3=12：18，假设提效前完成，零件数位18*12=216
12.时钟问题
时钟问题的三类题型：
（1）求角度：
<<<<<<< HEAD
公式法 |30h - 5.5m|
公式法 |30h - 5.5m|
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- h指的是小时，m指的是分钟，h为12小时进制
- 公式只能正向运用，不能逆向，除相交角度问题外，只能根据时间求角度，不能反求。
- 求出角度a大于180°时，用360减角度a即可
（2）求时间：用追及问题求解
分针速度 360°/60 = 6°/min
时针速度 因为 60分钟：30° 故0.5°/min
相对速度：6-0.5 = 5.5°/min
13.几何问题
周长公式：
<<<<<<< HEAD 面积公式：
=======
面积公式：
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 体积公式：
球
圆锥
正四面体 $V= \frac{\sqrt(2)}{12} * a^3$ a为正四面体的棱长
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9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 常用结论：
（1）等周长图形中，圆的面积最大；等面积的图形中，圆的周长最小。
等表面积的立体中，球的体积最大；等体积的立体中，球的表面积最小。
<<<<<<< HEAD （2）任意以圆的直径为边的内接三角形都是直角三角形；
（3）依次连接任意一个四边形各边中点所得一定是平行四边形，且平行四边形 的边与原四边形的对角线平行；
（4）对任意平面图形，边长是原来的n倍，面积是原来的n*n倍；
（2）任意以圆的直径为边的内接三角形都是直角三角形；
（3）依次连接任意一个四边形各边中点所得一定是平行四边形，且平行四边形 的边与原四边形的对角线平行； （4）对任意平面图形，边长是原来的n倍，面积是原来的n*n倍；
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几何问题的三类题型： （1）规则图形 ：公式法
（2）不规则图形：间接法
<<<<<<< HEAD
（3）立体几何的平面化
（3）立体几何的平面化
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14.年龄问题
年龄问题的两个考点：
（1）年龄差不变
（2）经过相同年份，增长年龄相同
<<<<<<< HEAD
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 年龄问题的两种解法：
（1）方程法
（2）列表法
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15.边端问题（加减1的问题）
（1）植树问题
<<<<<<< HEAD 线性植树：
$棵数 = \frac{总长}{间距} + 1$ （算头算尾要加1）
环形植树：
$棵数 = \frac{总长}{间距}$
线性植树：
$棵数 = \frac{总长}{间距} + 1$ （算头算尾要加1）
环形植树：
$棵数 = \frac{总长}{间距}$
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楼间植树：
$棵数 = \frac{总长}{间距} - 1$ （不算头不算尾需要减1）
<<<<<<< HEAD
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee （2）方阵问题
每边人数 = 方阵总人数 / 4 + 1
外层比里层每边多2人
所有外层比里一层共多8人（只有一个例外，即为中间仅有1人的情况。）
<<<<<<< HEAD
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 注：方阵问题可以看作公差为8的等差数列
补充等差数列知识：
求和公式$Sn = \frac{a1 + an}{2} * n$
第n项 $an = a1 + (n-1)*d$
项数$n = \frac{an - a1}{d} + 1$
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16.排列组合（重要）
有序排列，无序组合
捆绑法——解相邻问题 插空法——解不相邻问题 分组法——解不同元素分组问题 挡板法——解相同元素分组问题 优限法——解含特殊条件问题 倍缩法——解方案有重问题 间接法——解正向求解不显然问题
定义：
将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。
将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。
16.1不同元素
分组问题
例.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）每组两本（均分三组）（2）一组一本，一组两本，一组三本（3）一组四本，另外两组各一本
（平均分组问题）（不平均分组问题）（部分平均分组问题）
平均分组(消内部排列数，即n!)：$\frac{C{6}^{2} * C{4}^{2} * C{2}^{2}}{A{3}^{3}}$
不平均分组问题：$C{6}^{1} * C{5}^{2} * C_{3}^{3}$
部分平均分组问题(消均分组数的内部排列数)：$\frac{C{6}^{4} * C{2}^{1} * C{1}^{1}}{A{2}^{2}}$
分配问题
先分组后分配
例.六本不同的书，分给甲乙丙三人，每人至少有一本，共有多少种分法？
分组：90
分配：6
共90*6=540种
<<<<<<< HEAD
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16.2同种元素
分组问题
例.六本相同的书，分给三组，每组至少有一本，共有多少种分法？
3种（1-2-3/2-2-2/1-1-4）
<<<<<<< HEAD
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 分配问题
M个相同元素分给N人，分法有$C_{M-1}^{N-1}$种。
<<<<<<< HEAD
同种元素分配问题推荐插板法
同种元素分配问题推荐插板法
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee
例.六本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少有一本，共有多少种分法？
$C_{5}^{2}$
补充：20个相同元素，分给甲乙丙三人，每人至少0本，有几种分法？
解：20 - (-1) = 23
相当于23个相同元素，分给3人，每人至少1本，$C_{22}^{2}$
<<<<<<< HEAD
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee （1）分组问题
将元素分到组中有以下几种类型
元素不同，组不同：不需要进行排列
元素不同，组相同：平均分组要除以n!
<<<<<<< HEAD
元素相同，组不同：插板法，将M个相同元素分为N组，则有C<sub>M-1</sub><sup>N-1</sup>种方法
元素相同，组不同：插板法，将M个相同元素分为N组，则有CM-1N-1种方法
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（2）错位排序
$D(n) = (n-1) * [D(n-1) + D(n-2)]$
<<<<<<< HEAD D(1) = 0
D(2) = 1
D(3) = 2
D(4) = 9
D(5) = 44
D(1) = 0
D(2) = 1
D(3) = 2
D(4) = 9
D(5) = 44
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D(6) = 265
（3）
相邻问题：捆绑法
不临问题：插空法
17.概率问题
概率问题的两类题型：
(1)古典概型
(2)由条件中多个已知概率，求未知概率
<<<<<<< HEAD
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18.鸡兔同笼问题
若将A看成B，则求出的是A
鸡、兔同笼，共有头 40 个，足 92 只，求兔子有多少只（ ）？ <<<<<<< HEAD A.5 只 B.6 只 C.7 只 D.8 只
解：若将兔子看成鸡，则40只鸡有足40*2=80，多余的足90-80=12为兔的足，兔子数为12/2=6
19.抽屉原理
抽屉原理问题模型： “保证”和“至少” 同时出现在问题中
抽屉原理解题原则： 最有利原则，问什么就要尽量避免什么发生
A.5 只 B.6 只 C.7 只 D.8 只
解：若将兔子看成鸡，则40只鸡有足40*2=80，多余的足90-80=12为兔的足，兔子数为12/2=6
19.抽屉原理
抽屉原理问题模型： “保证”和“至少” 同时出现在问题中
抽屉原理解题原则： 最有利原则，问什么就要尽量避免什么发生
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20.比赛问题
比赛计数
N人
淘汰赛：每次比赛均淘汰败者，淘汰一个人需要打一场比赛
决出一、二名，需要N-1场比赛
决出一、二、三、四名，需要N场比赛
<<<<<<< HEAD 循环赛：积分赛
单循环：任意两人之间打一场，共C<sub>N</sub><sup>2</sup>场
双循环：任意两人之间打两场，共$2 * C{N}^{2} = A{N}^{2}$场
21.牛吃草问题
唯一推荐 列方程解决的问题
有一个固定的量，这个量匀速变化即为牛吃草问题。
y = (N-x) * T
数字推理
1.等差数列
两两做差
2.等比数列
特征为相邻项之间有明显的倍数关系
3.每项都带小数点
=======
循环赛：积分赛
单循环：任意两人之间打一场，共CN2场
双循环：任意两人之间打两场，共$2 * C{N}^{2} = A{N}^{2}$场
21.牛吃草问题
唯一推荐列方程解决的问题
有一个固定的量，这个量匀速变化即为牛吃草问题。
y = (N-x) * T
数字推理
1.等差数列
两两做差
2.等比数列
特征为相邻项之间有明显的倍数关系
3.每项都带小数点
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee （1）将每一项的整数部分、小数部分进行加减运算，得到下一项的整数或小数部分； （2）整数、小数部分拆分成两个数列看，分别找规律。
4.带根号
<<<<<<< HEAD
每项平方去根号后，再找规律。
5.幂次数列+修正
典型特征为出现数值较大的幂次数，或者幂次数附近的数
6.分数数列
======= 每项平方去根号后，再找规律。
5.幂次数列+修正
典型特征为出现数值较大的幂次数，或者幂次数附近的数
6.分数数列
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 分数数列解题思维过程：分组或交叉 → 约分或广义通分 → 反约分。 分组是指分子分母分别成规律；交叉是指相邻项的分子分母之间具有一定的联系；
分子分母分开找规律 分子分母进行加减乘除运算
基础数列（原型数列）
<<<<<<< HEAD
=======
9d7b979cd3c37697c3616a447959a10f643acaee 1、等差数列
【例】5，8，11，14，17，20，23…
2、等比数列
【例】2，6，18，54，162…
3、质数数列
【例】2，3，5，7，11，13，17…
4、合数数列
【例】4，6，8，9，10，12，14，15，16…
5、简单递推数列
【和】1，1，2，3，5，8，13…
【差】20，11，9，2，7，-5，12…
【积】4，1/2，2，1，2，2，4…
【商】54，18，3，6，1/2，12…
6、周期数列
【例】4，1，6，4，1，6…
7、对称数列
【例】1，2，3，3，2，1…
8、-2—30的平方数列
4，1，0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，529，576，625，676，729，784，841，900 …
9、-4—10的立方数列
-64，-27，-8，-1，0，1，8，27，64，125，216，343，512，729，1000 …
10、2、3、4、5、6的多次方
2的1-10次幂： 2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024
3的1--6次幂： 3、9、27、81、243、729
4的1--5次幂： 4、16、64、256、1024
5的1--5次幂： 5、25、125、625、3125
6的1--4次幂： 6、36、216、1296
多重数列
基本特征：多重数列包括交叉数列和分组数列。一般来讲，这部分的数列都比较长，或者有2个括号的。
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一、交叉数列为奇数项、偶数项分别成规律。
一、交叉数列为奇数项、偶数项分别成规律。
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二、分组数列基本上都是两两分组，因此项数(包括未知项)通常都是 偶数 。分组完后，统一在各组进行形式一致的简单 加减乘除 运算，得到一个非常简单的数列。
多级数列
多级数列主要是相邻两项两两做差的“做差多级数列”以及相邻两项两两做商的“做商多级数列”。
做差：两两做差至少两次
做商：当相邻项之间倍数关系相对比较明显的时候，优先两两做商。
做和：
递推数列
根据初步判断的趋势作合理的试探，得出相关修正项。
如果一个数列没有明显特征（分数、多重、幂次、倍数等），做差做和也不能得到答案，那接下来就考虑递推数列的规律。
递推数列具有 和、差、积、商、倍、方 六种基本形态。
有“心”数图
根据周围计算中心，观察中心数值与周围数值的大小关系。
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数量计算
先：行程 工程 时钟 浓度 牛吃草 还原 容斥
后：排列组合 概率 日期
行程问题
等距离平均速度
\dot{v}=\frac{2S}{\frac{S}{v1}+\frac{S}{v2}}
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