$\frac{A}{1+r} = A*(1-r)$

$\frac{A}{1-r} = A*(1+r)$

1.4计算两期比重差、平均数（比值）增长率

现期比重=$\frac{A}{B}$

基期比重$ = \frac{\frac{A}{1+a}}{\frac{B}{1+b}} = \frac{A}{B}*\frac{1+b}{1+a}$​

量和率写在对角线上

求基期的比值分三步：

1.在四个选项中找到现期量的比值 $\frac{A}{B}$

2.判断 (1+b)/(1+a) 大于1或者小于1，根据乘积关系，排除错误选项

3.确定 (1+b)/(1+a)的首位，并乘以A/B，得到正确答案。

两期比重差： $\frac{A}{B} - \frac{\frac{A}{1+a}}{\frac{B}{1+b}} = \frac{A}{B} - \frac{A}{B}\frac{1+b}{1+a}=\frac{A}{B}\frac{a-b}{1+a}$

比值的增长率(平均数增长率、倍数增长率)： $\frac{\frac{A}{B} - \frac{\frac{A}{1+a}}{\frac{B}{1+b}}}{\frac{\frac{A}{1+a}}{\frac{B}{1+b}}} = \frac{\frac{A}{B} \frac{a-b}{1+a}}{\frac{A}{B}\frac{1+b}{1+a}} = \frac{a-b}{1+b}$

通过a-b正负得出比值增长率正负，排除两个选项；

1.5增量/减量计算公式

题型一：

2020 B 增长率b% （此处增长率实际意思指的是前一年增长速率）

增长量 = 2020-2019 (=2019*b%)

=B - $\frac{B}{1+b\%}$

=$\frac{B}{1+b\%} *b\%$ (百分数或小数形式转化为分数，便于计算)

=$\frac{B*\frac{m}{n}}{1+\frac{m}{n}}$

=$\frac{B*m}{n+m}$

2020 B 减少率b%

减少量=2019-2020

=$\frac{B}{1-b\%} - B$

=$\frac{B*b\%}{1-b\%}$

增量/减量计算公式的误差分析

结论：当B一定，b%越大 =》增长量（减少量）越大；反之，当b%越小=》增长量越小

$\frac{B19\%}{1 +/- 19\%} < \frac{B20\%}{1 +/-20 \%} <\frac{B*21\%}{1 +/- 21\%}$

题型二

2019 A 2020 b%

增长量=2020-2019 = A(1+b%)-A=A\b%

减少量=2019-2020=A-A(1-b%)=A\b%

1.6间隔增长率

2020 2021 2022

A r1 r2

2022相比2020的两年总增长率 R2=$\frac{2022-2020}{2020}$ =$\frac{A(1+r1)(1+r2)-A}{A}$ = (1+r1)(1+r2)-1 = r1+r2+r1\r2 ，r1、r2正负均可

多年复合增长率(利用两年增长率进行迭代计算即可)

2020 2021 2022 2023

A r1 r2 r3

2022相比2020增长率 R2=r1+r2+r1*r2

2023相比2020增长率R3 = R2+r3+R2*r3

例如r1=r2=r3=10%，则R2=10%+10%+10% * 10%=21%

R3=R2+r3+R2r3=21%+10%+21% 10%=33.1%

每年增长率为10%，4年总增长率R4=46.41%

结论一：

当各年增长率为正时，总增长率高于各年增长率之和。 （R>r1+r2，当r1、r2、R均>0）

（总增长率R3=33.1%，各年增长率之和为(r1+r2+r3)=30%）

结论二：

总增长率的平均数大于年均增长率

(总增长率的平均数为R3/3=11.033%，年均增长率不是各年增长率的平均数)

1.7年均增长率（难点）

概念： 如果某个量初期为A，经过N期之后变为B，平均增长率为r，则

A * （1+r）^N = B 可得，r = $\sqrt[N]{\frac{B}{A}} - 1$

题型一：

若给出各年增长率，则年均增长率的计算和比较需要转换为总增长率的计算和比较。

题型二：

若给出增长前后的量，则年均增长率的计算分为3步：

第一步：首先计算总增长率$R=\frac{B-A}{A}=\frac{B}{A}-1$

第二步：根据年均增长率$r<\frac{R}{n}$，排除错误选项

第三步：找出恰当选项（恰当标准为好计算复合增长率），用多年复合增长率公式代入，排除错误选项

例题：

2014～2018 年间，该市 GDP 的年均增长率约为（ ）？

A.7% B.10% C.13% D.17%

第一步：总增长率R=$\frac{B}{A}-1$ = 8139/4992 - 1 = 62.8%

第二步：总增长率的平均数为R/n = 15.7%，年均增长率r<R/n，排除D选项

第三步：若年均增长率为10%，则总增长率为46.41%（<计算的真实增长率62.8%，则真实年均增长率>10%，根据选项，选C）

1.8等速率增长问题

2019 2020 2021

A B C

若各年增长率相等，均为r

则B=A*(1+r)， C=B*(1+r)

ABC等比，B²=A*C C=B²/A

1.9百分点和百分数

• 绝对量之间的比较，先减再除，用百分数表示；
• 相对量之间的比较，只减不除，用百分点表示；

2020 2021 2022

100 110 132

​ 10% 20%

2022年增长率比2021年增长率提高了20%-10%=10%（不可再除以基数），读作提高了10个百分点

注意：不能由相对量得到绝对量信息，除非总量相同

“相同互补”型两位数乘积：

“相同”：两个两位数首位相同 / 两个两位数尾数相同 / 两个两位数中一个数两位相同

“互补”：其余两数相加=10

首首相同 43 47 = 2021（4 4+4=20，3 * 7=21）

尾尾相同 34 74 = 2516 （3 7 + 4 = 25，4 * 4 = 16）

一数中两位相同 44 37 = 1628 （4 3 + 4 = 16，4 * 7 = 28）

积的头 = 头*头 + 相同的数

积的尾 = 尾*尾

题型一：求增长率

例：2018 年上半年 A 区完成规模以上工业总产值 289.9 亿元，同比下降 9.4%，降幅比1～5 月扩大 0.7 个百分点，比 1～4 月扩大 2.2 个百分点，比一季度扩大 7.5 个百分点。 2018 年 1～4 月 A 区完成规模以上工业总产值同比增速约为（-9.4% + 2.2% = -7.2%）？

题型二：求两年复合增长率

R = r1 + r2 + r1 * r2

例：2018 年有 1838.4 万人次困难群众受益，同比增长 8.5%，增长率较上一年下降 27.5个百分点。 2018 年受益的困难群众较 2016 年增长约（8.5%+（8.5%+27.5%）+8.5%*（8.5%+27.5%））？

题型三：求两年前的量

例：2018 年我国钟表行业规模以上工业企业主营业务收入 365.8 亿元，同比增长 8.7%；与上年相比下降 1.5 个百分点。 2016 年我国钟表行业规模以上工业企业主营业务收入约为（）亿元

解：8.7% + 1.5% = 10.2%

8.7% + 10.2% + 8.7% * 10.2% = 19.77%

365.8/(1+19.77%) = 365.8/119.77%

1.10常用术语

GDP

GNP

顺差=出口-进口

逆差=

同比

环比

翻番，每翻一番，乘以2；翻一番为原来的 2 倍；翻两番为原来的 4 倍；

五年计划：“十三五”：2016~2020

拉动增长：拉动增长 = 部分增量 / 整体基量，用百分点表示； 贡献率：贡献率 = 部分增量 / 整体增量，用百分数表示；

变化幅度：没有数学符号的数值 （即为增长率加绝对值）

2.十大核心要点

2.1时间表述--特别注意问题中的时间

读题三要素：时间、关键词、考点

2017 年 1～12 月， 该汽车企业汽车销售量 同比、环比均上升的月份有几个（）？

2.2单位表述--特别注意问题和材料中单位是否一致

2.3特殊表述

• 增长最多/增长最快

增长量 多/少

增长率 快/慢

• 不超过/不低于 超过/低于

问不超过和超过，直接选最大选项

问不低于和低于，直接选最小选项

2.4适当标记

标记关键词，不要标数据

2.5定性分析

斜率相同，增长量相同，增长率减小。

斜率越大，增长量越大，增长率未知。

斜率越小，增长量越小，增长率越小。

2.6辅助工具

2.7组合选择题

• 完成组合选择题，需要做到“判断出一个表述就马上做一次排除”

2.8常识判定

尊重材料

2.9简单着手

2.10答案选项

3.十大分析方法

3.1估算法

1. 平均数

2. 增长率

3. 增长量比较

法一：量B一定，增长率越大，则增长量越大

法二：量B越大，增长率越大，则增长量越大

法三：

2020 2021

$V1 = \frac{A a\%}{1 + a\%}$ $V2 = \frac{B b\%}{1 + b\%}$

记$p = \frac{A}{B}$ , $q = \frac{b}{a}$

当|p - q| > 1时，若p>q，则V1>V2；若p<q，则V1<V2

1. 分数除分数

$\frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \frac{A}{B} * \frac{D}{C}$

增长量除以增长量，一定不要计算出增长量，将同类型数据放在一起计算

3.2直除法

此法解决分子、分母位数较多的分数之间的比较

1. 计算型

2. 比较型

补充：A+B=C类型相关

增长率

结论1：和的增长率介于二者之间

A + B = C

2% 10%

则2% < C < 10%

备注1：若A=B，则A、B二者之和的增长率为二者增长率的平均数

A（500） + B（500） = C（1000）

2% 10%

则C的增长率=（2%+10%）/ 2 = 6%

结论2：和的增长率更靠近量大的增长率

A（200） + B（800） = C（1000）

2% 10% 6% < rc < 10%

备注2：若ra = rb = r，则和的增长率一定为r，反之亦然。

A（200） + B（800） = C（1000）

6.8% 6.8% rc = 6.8%

以上结论和备注同样适用于比例问题、浓度问题、平均分问题

两大应用：

A + B = C

应用一：已知A、B的增长率、比例、浓度、平均分，求C的

应用二：已知B、C的增长率、比例、浓度、平均分，求A的

平均数

求7月的量比1~6月的平均量多多少？

A + B = C

1-6月 7月 1-7月

$B - \frac{C - B}{6} = \frac{7*B - C}{6}$

3.3多个数求和

高级截位法，用于多个数字（大于6个数）求和，将所有数首位作和，将所有数的非零第二位看作5作和。

3.4分数之间比较大小--差分法

应用原则：

两数分子分母相近，差分法/放缩法（小/大，大/小，直接观察可得结果）；

两数分子分母相差较远，先化同法（化为相近分数），再差分法/放缩法。

差分法理解：

分子分母同时小的小分数 分子分母同时大的大分数

x d

差分数 = 大分数 - 小分数

c

差分法分为3步：

第一步，计算出差分数，并放在大分数一侧

第二步，用差分数（代替大分数）和小分数进行比较

第三步，差分数大小代表大分数的大小

$x = \frac{121}{301}$ $d = \frac{122}{302}$

$c = \frac{121}{301} - \frac{122}{302}= \frac{1}{2}$

因为x < c，故x < d

分数间比较大小总结： 1.放缩法 用于解决分子大分母小的分数间比较

2.直除法 用于解决分子分母位数较多的分数间比较

3.化同法 用于解决两数的分子分母形式上大小相差较大的分数间比较

4.差分法 用于解决相差较小且满足差分条件（差分为正）的分数间比较

总结：

给出两部分A、B，求一部分A占整体的比重，等价于部分A除以另一部分B的大小。

$\frac{A}{A + B} 大小比较等价于 \frac{A}{B}$

理解：

$\frac{A}{A + B}$ 倒数为 $\frac{A + B}{A} = 1 + \frac{B}{A}$

$\frac{A}{B}$ 的倒数为 $\frac{B}{A}$

比较两数之积的大小：

小 小 < 大 大（显然）

小 大 比较 大 小（此法适用）

100 103 105 100

100 -> 105 r1 = 5%

100 -> 103 r2 = 3%

因为r1 > r2，从左侧到右侧增长率大，故100 103 < 105 100

3.5化同法

在比较两个分数大小时，将这两个分数的分子或分母化为相同或相近，从而达到简化比较的分析方式。

3.6参照法

计算398.78 -> 441.13增长率不好计算，

参照400 -> 440的增长率为10%

3.7两期比重差

2020 2021

$\frac{A}{B}$ $\frac{A'}{B'}$

A->A' 增长率 r1 （可正可负，仅比较数学上大小即可）

B->B' 增长率 r2

1.若r1>r2，分子增长率高，则$\frac{A}{B}$ < $\frac{A'}{B'}$

2.若r1 $\frac{A'}{B'}$

高级放缩法两大应用：

应用一（定性比较大小，适用于比重、比值）：若比较增长前后的比重（或比值）的大小，则用放缩法。（和A、B、A'、B'四个量大小无关，仅和增长率有关。）

如比较$\frac{A}{B}$ $\frac{A'}{B'}$ 的大小

应用二：（定量计算）若计算增长前后比重的差值，则用放缩法。（比重的差值<增长率的差值） （此处放缩只适用于比重）

2020 2021

$\frac{A}{1+r1}$ A 增长率r1

$\frac{B}{1+r2}$ B 增长率r2

假定r1>0，另由于比重，假定A为部分，B为整体，则A < B

（两期比重差）比重差值 = $\frac{A}{B} - \frac{\frac{A}{1+r1}}{\frac{B}{1+r2}} = \frac{A}{B} - \frac{A}{B} \frac{1+r2}{1+r1} = \frac{A}{B} \frac{r1-r2}{1+r1}$​ （*）

(1)若r1>r2，（）>0，则比重上升x个百分点 (2)若r1<r2，（）<0，则比重下降x个百分点

此时，==比重差值$\frac{A}{B} \frac{r1-r2}{1+r1}$ < $\frac{A}{B} |r1 - r2|$ < $| r1-r2 |$==

例题：2018 年， G 省实现民营经济增加值 42578.76 亿元，比上年同期增长 7.8%。 其中，第一产业增加值 3631.01，比上年同期增长 3.0%； 第二产业增加值 17306.17，比上年同期增长 9.2%； 第三产业增加值 21641.58，比上年同期增长 7.6%； 2018 年 G省民营经济中第三产业所占的比重相比 2017 年大约（ ）？

解：r1 = 7.6% r2 = 7.8% r1 > r2，分子上升比分母慢，比重下降

比重差值 < |r1 - r2| = 0.2%， 故选B

总结：计算比重差值问题，通过r1、r2判断出比重上升或者下降后，直接选择数值最小的即为正确选项（此法正确率不是100%，是99+%）

若r1<0，使用比重差值 $\frac{A}{B} * \frac{r1-r2}{1+r1}$​ 计算答案（不长考，考了倒霉）​

3.8凑整法

此法适用于原数据计算量较大，通过放缩法凑整，简化分析

初级凑整法

327 25 = $\frac{327 25 4}{4}$ = $\frac{327}{4} 100$ = 8175

高级凑整法（*）

3.9增长率相关速算法

A * B型与A / B型增长率

4.积累

4.1高级凑整法

4.2两分数之差的无计算方法

4.3增减题型的比例思维

4.4相近选项的无误差处理技巧

4.5年均增长率的瞪眼法则

5.速算

5.1乘法速算估算大汇总

5.1.1截位修正

把三位 三位截位化简为两位 两位 1.个位一个大于5，一个小于5，四舍五入

218 353 = 22 35 = 770

11893 36.4% = 119 36.4% = 12 * 36 = 432

2.个位上，两个均大于5，一进一舍（先变小数字（整体数字），大数反向变化） 216 317 = 22 31 = 682

395 5.39 = 40 53 = 212

3.个位上，两个均小于5，一进一舍（先变小数字（整体数字），大数反向变化）

214 413 = 21 42 = 882

16.26 81.3% = 163 81.3 = 16 * 82 = 1312

1328 23.4% - 1467 19.2% = 133 234 - 147 192 = 13 24 - 15 19 = 312 - 285 = 27

4.特殊情况 个位上，两个均是0，1，2，全舍；两个均是8，9，全进。

总结： （1）个位一个大于5，一个小于5，则一进一舍（四舍五入） （2）个位均大于等于5或小于5，则一进一舍（小数先变，大数反向变） （3）特殊情况，个位均是0，1，2全舍，8，9全进位

两位数速乘

5.2特征分数拆分法

(1)特征分数记好 (2)百分数和分数双向转化能力

2407 16.7% ~ 2407 (1/6)

5.3放缩凑整法

（1）第一类：向下化整百(两个数据的第二位至少有一个小于5)

5.2除法速算

5.2.1错位法